Question

已知如下等式：12=

1×2×3

6

，12+22=

2×3×5

6

，12+22+32=

3×4×7

6

，…当n∈N^*时，试猜想1²+2²+3²+…+n²的值，并用数学归纳法给予证明．

Answer 1

由已知，猜想1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

，
下面用数学归纳法给予证明：
（1）当n=1时，由已知得原式成立；
（2）假设当n=k时，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

，
那么，当n=k+1时，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+（k+1）²
=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

6

故n=k+1时，原式也成立．
由（1）、（2）知1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

成立．