Question

（2013•北京）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，点P在线段D₁E上，点P到直线CC₁的距离的最小值为

2 5

5

．

Answer 1

分析：如图所示，取B₁C₁的中点F，连接EF，ED₁，利用线面平行的性质即可得到C₁C∥平面D₁EF，进而得到异面直线D₁E与C₁C的距离．

解答：解：如图所示，取B₁C₁的中点F，连接EF，ED₁，
∵EF

∥

.

CC1，CC₁⊥底面ABCD，∴四边形EFC₁C是矩形．
∴CC₁∥EF，
又EF?平面D₁EF，CC₁?平面D₁EF，∴CC₁∥平面D₁EF．
∴直线C₁C上任一点到平面D₁EF的距离是两条异面直线D₁E与CC₁的距离．
过点C₁作C₁M⊥D₁F，
∵平面D₁EF⊥平面A₁B₁C₁D₁．
∴C₁M⊥平面D₁EF．
过点M作MP∥EF交D₁E于点P，则MP∥C₁C．
取C₁N=MP，连接PN，则四边形MPNC₁是矩形．
可得NP⊥平面D₁EF，
在Rt△D₁C₁F中，C₁M•D₁F=D₁C₁•C₁F，得C1M=

2×1

22+12

=

2 5

5

．
∴点P到直线CC₁的距离的最小值为

2 5

5

．
故答案为

2 5

5

点评：熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键．