Question

如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α所成的角为，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB=3A'B'，则AB与平面β所成的角的正弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：连接AB′，BA′，由题设知∠B′AB=，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB与平面β所成的角，由此能求出AB与平面β所成的角的正弦值．
解答：解：连接AB‘，BA’，
∵平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α所成的角为，
过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，
∴∠B′AB=，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB与平面β所成的角，
设A′B′=a，∵AB=3A'B'，∴AB=3a，
设AB′=BB′=x，则2x²=9a²，解得AB′=BB′=，
∴，AA′==，
∴sin∠ABA′==．
故选A．
点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．