题目内容
我们在下面的表格内填写数值，先将第1行的所有空格填上1，再把一个首项为1，公比为q的等比数列{an}依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．
（Ⅰ）设第2行的数依次为b1，b2，b3，…，bn，试用n、q表示b1+b2+b3+…+bn的值；
（Ⅱ）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，总有cm-1+cm+1＞2cm成立（其中2≤m≤n-1且m为偶数）；
（Ⅲ）能否找到一个实数q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由．
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第n列 | |
| 第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
| 第2行 | q | ||||
| 第3行 | q2 | ||||
| … | … | ||||
| 第n行 | qn-1 |
（Ⅱ）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，总有cm-1+cm+1＞2cm成立（其中2≤m≤n-1且m为偶数）；
（Ⅲ）能否找到一个实数q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由．
分析：（1）根据“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则，写出b1、b2、b3的表达式，从而归纳出bn=（n-1）+q，利用等差数列前n项和公式即可算出用n、q表示b1+b2+b3+…+bn的式子；
（2）由题意，根据c1、c2、c3的表达式，归纳出cn用n、q表示的式子．将cm-1+cm+1与2cm作差，化简整理得 cm-1+cm+1-2cm=qm＞0，从而得到对于任意非零实数q，总有cm-1+cm+1＞2cm成立；
（3）若第k+1列的前三项成等比数列，则由等比中项的定义列式可解出q=
，同理当第m+1列的前三项成等比数列时，有q=
成立．由k≠m可得以上两个式子不能同时成立，因此无论怎样的q都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列．
（2）由题意，根据c1、c2、c3的表达式，归纳出cn用n、q表示的式子．将cm-1+cm+1与2cm作差，化简整理得 cm-1+cm+1-2cm=qm＞0，从而得到对于任意非零实数q，总有cm-1+cm+1＞2cm成立；
（3）若第k+1列的前三项成等比数列，则由等比中项的定义列式可解出q=
| 1-k |
| 2 |
| 1-m |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）∵b1=q，b2=1+q，b3=1+（1+q）=2+q，…，bn=（n-1）+q
∴b1+b2+…+bn=1+2+…+（n-1）+nq=
+nq…（3分）
（Ⅱ）c1=1，c2=1+（1+q）=2+q，c3=（2+q）+（1+q+q2）=3+2q+q2，…，
cn=n+（n-1）q+（ n-2）q2+…+2qn-2+qn-1．
∵cm-1+cm+1-2cm=[（m-1）+（m-2）q+（m-3）q2+…+2qm-3+qm-2]+
[（m+1）+mq+（m-1）q2+…+2qm-1+qm]-2[m+（m-1）q+（m-2）q2+…+2qm-2+qm-1]=qm
∴结合q为非零实数且m为偶数，可得qm＞0，从而得到cm-1+cm+1＞2cm …（6分）
（Ⅲ）设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则x1=1，x2=k+q，x3=（1+2+…+k）+kq+q2=
+kq+q2
若第k+1列的前三项x1，x2，x3是等比数列，则x1x3=x22
∴
+kq+q2=(k+q)2即
+kq=0，解得q=
同理，若第m+1列的前三项y1，y2，y3是等比数列，则q=
∵当k≠m时，
≠
∴无论怎样的q，都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列 …（10分）
∴b1+b2+…+bn=1+2+…+（n-1）+nq=
| n(n-1) |
| 2 |
（Ⅱ）c1=1，c2=1+（1+q）=2+q，c3=（2+q）+（1+q+q2）=3+2q+q2，…，
cn=n+（n-1）q+（ n-2）q2+…+2qn-2+qn-1．
∵cm-1+cm+1-2cm=[（m-1）+（m-2）q+（m-3）q2+…+2qm-3+qm-2]+
[（m+1）+mq+（m-1）q2+…+2qm-1+qm]-2[m+（m-1）q+（m-2）q2+…+2qm-2+qm-1]=qm
∴结合q为非零实数且m为偶数，可得qm＞0，从而得到cm-1+cm+1＞2cm …（6分）
（Ⅲ）设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则x1=1，x2=k+q，x3=（1+2+…+k）+kq+q2=
| k(k+1) |
| 2 |
若第k+1列的前三项x1，x2，x3是等比数列，则x1x3=x22
∴
| k(k+1) |
| 2 |
| k2-k |
| 2 |
| 1-k |
| 2 |
同理，若第m+1列的前三项y1，y2，y3是等比数列，则q=
| 1-m |
| 2 |
∵当k≠m时，
| 1-k |
| 2 |
| 1-m |
| 2 |
∴无论怎样的q，都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列 …（10分）
点评：本题给出关于数列的二维表格，求第二行的第n项的通项公式并求前n项和，求第三列的通项满足的条件并讨论第k列的前三项成等比的问题．着重考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、不等式的证明与数列的应用等知识点，属于中档题．
练习册系列答案
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21.我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为
的数列
依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第 |
第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
第2行 |
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第3行 |
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… | … |
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第 |
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|
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列
行
(1) 设第2行的数依次为
，试用
表示
的值；
(2) 设第3列的数依次为
，求证：对于任意非零实数
，
；
(3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.
① 能否找到
的值，使得(2) 中的数列
的前
项
(
) 成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由.
② 能否找到
的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.
我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，Bn，试用n，q表示B1+B2+…+Bn的值；
（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第n列 | |
| 第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
| 第2行 | q | ||||
| 第3行 | q2 | ||||
| … | … | ||||
| 第n行 | qn-1 |
（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．