Question

14．如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$．M是AD的中点，P是BM的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC；
（Ⅱ）若点Q在线段AC上，且满足AQ=3QC，求证：PQ∥平面BCD；
（Ⅲ）若∠BDC=60°，求二面角C-BM-D的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过AD⊥平面BCD可得AD⊥BC，利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面ACD，再利用面面垂直的判定定理即得结论；
（Ⅱ）取BD中点O，且P是BM中点，取CD的四等分点H，使DH=3CH，且AQ=3QC，通过四边形OPQH为平行四边形及线面平行的判定定理即得结论；
（III）以C为坐标原点，以CD、CB分别为x、y轴建系，则所求值即为面CBM的法向量与面BMD的法向量的夹角的余弦值，进而可得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AD⊥BC，
∵BC⊥CD且AD∩CD=D，∴BC⊥平面ACD，
∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD；
（Ⅱ）证明：如图所示，取BD中点O，且P是BM中点，
∴PO∥MD且PO=$\frac{1}{2}$MD；
取CD的四等分点H，使DH=3CH，且AQ=3QC，
∴PO∥QH且PO=QH，
∴四边形OPQH为平行四边形，
∴PQ∥OH，且OH?平面BCD，
∴PQ∥平面BDC；
（III）解：如图以C为坐标原点，以CD、CB分别为x、y轴建系，
则C（0，0，0），B（0，$\sqrt{6}$，0），M（$\sqrt{2}$，0，1），D（$\sqrt{2}$，0，0），
∴$\overrightarrow{CB}$=（0，$\sqrt{6}$，0），$\overrightarrow{CM}$=（$\sqrt{2}$，0，1），$\overrightarrow{BD}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{6}$，0），$\overrightarrow{DM}$=（0，0，1），
设平面CBM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{6}y=0}\\{\sqrt{2}x+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，0，-$\sqrt{2}$）；
设平面BMD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-\sqrt{6}y=0}\\{z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}+0+0}{\sqrt{1+2}•\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}$，
所以二面角C-BM-D的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查空间中线面平行、面面垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．