Question

已知程序框图如图所示，将输出的a的值依次记为a₁，a₂，…，a_n，其中n∈N^*．且n≤2012，
请回答下列问题：
（Ⅰ）将空格

①

处填上适当的整数，该整数是多少？
（Ⅱ）写出a_n与n的关系式；
（III）设bn=

n

2

an，求{b_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为框图将输出的a的值依次记为a₁，a₂，…，a_n，其中n∈N^*．且n≤2012，再根据判断框中的条件满足时结束循环，所以判断框内的条件应是n＞2012；
（Ⅱ）由执行框中的运算表达式知，输出的数列是以2为首项，以3为公比的等比数列；
（Ⅲ）把数列{a_n}的通项代入表达式后，运用错位相减法求数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）因为n赋值为1时输出的a=2即a₁，该数列共有2012项，所以n＞2012时算法结束，共输出2012项；
（Ⅱ）由执行框中的算式看出，该数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，所以an=2•3n-1(n≤2012)；
（Ⅲ）由bn=

n

2

an=

n

2

•2•3n-1=n•3n-1
所以S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1①
所以3Sn=3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n×3n②
①-②得 -2Sn=(30+31+32+…+3n-1)-n×3n
整理得：Sn=

1-3n

4

+

n•3n

2

n∈N^*．且n≤2012．

点评：本题考查了循环结构，训练了错位相减的求和方法，求一个等差数列和一个等比数列的积数列的前n项和，往往是用错位相减法．