Question

数列{a_n}中a₁=1，

a

=（n，a_n），

b

=（a_n+1，n+1），且

a

⊥

b

，则a₁₀₀=（　　）

• A、

  100

  99

• B、-

  100

  99

• C、100
• D、-100

Answer 1

分析：由向量垂直的坐标表示得到数列递推式，变形后利用类乘法求解数列{a_n}的通项公式，则a₁₀₀可求．

解答：解：由

a

=（n，a_n），

b

=（a_n+1，n+1），且

a

⊥

b

，
得na_n+1+（n+1）a_n=0，即na_n+1=-（n+1）a_n．
∵a₁=1≠0，∴

an+1

an

=-

n+1

n

．
则

a2

a1

=-

2

1

，

a3

a2

=-

3

2

，

a4

a3

=-

4

3

，
…

an

an-1

=-

n

n-1

，
把以上n-1个等式累乘得：

an

a1

=(-1)n-1•n，
∴an=(-1)n-1•n，
则a100=(-1)99•100=-100．
故选：D．

点评：本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了数列的递推式，考查了类乘法求数列的通项公式，是中档题．