Question

（1）设a₁，a₂，…，a_n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0。若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列。
（i）当n=4时，求的数值；
（ii）求n的所有可能值。
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

Answer 1

解：首先证明一个“基本事实”：
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d₀=0
事实上，设这个数列中的连续三项a-d₀，a，a+d₀成等比数列，则a²=（a-d₀）（a+d₀），由此得d₀=0
（1）（i）当n=4时，由于数列的公差d≠0，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a₂或a₃
①若删去a₂，则由a₁，a₃，a₄成等比数列，得
因d≠0，故由上式得a²=-4d，即
此时数列为-4d，-3d，-2d，-d，满足题设；
②若删去a₃，则由a₁，a₂，a₄成等比数列，
得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
因d≠0故由上式得a₁=d，即
此时数列为d，2d，3d，4d，满足题设
综上可知，的值为-4或1。
（ii）若n≥6，则从满足题设的数列a₁，a₂，…a_n中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a₁，a₂，…，a_n的公差必为0，这与题设矛盾
所以满足题设的数列的项数n≤5
又因题设n≥4，故n=4或5
当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。
当n=5时，若存在满足题设的数列
则由“基本事实”知，删去的项只能是a₃，从而
成等比数列
故
分别化简上述两个等式，得
，故d=0
矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列，综上可知，n只能为4。
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d'的n项等差数列

其中三项成等比数列
这里
则有
化简得
由b₁d'≠0知或同时为零，或均不为零
若
则有
即矛盾
因此都不为零
故由（*）得
因为均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而是一个有理数
于是，对于任意的正整数n≥4，只要取为无理数，则相应的数列就是满足要求的数列，例如，取那么n项数列满足要求。