Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为

1

2

，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边
形周长等于8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M、N是直线x=4上的两个动点，且

F1M

-

F2N

=0．设E是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆E的位置关系．

Answer 1

分析：（1）由离心率的值、及椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于8这2个条件求出椭圆的长半轴、半焦距的值，再利用长半轴、半焦距、短半轴之间的关系求出短半轴的长，待定系数法求出椭圆方程．
（2）设出M、N两点的坐标M（4，t₁），N（4，t₂），因为

F1M

•

F2N

=0，可得：5×3+t₁t₂=0，化简

OM

•

ON

的结果等于1，大于0，故∠MON为锐角，所以原点O在圆E外．

解答：解：（1）由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意得：

c

a

=

1

2

，4a=8，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）知F₁（-1，0），F₂（1，0）．设M（4，t₁），N（4，t₂），
则

F1M

=（5，t₁），

F2N

=（3，t₂），

OM

=（4，t₁），

ON

=（4，t₂），
因为

F1M

•

F2N

=0，所以5×3+t₁t₂=0．

OM

•

ON

=4×4+t₁t₂=16-15=1＞0，
故∠MON为锐角．所以原点O在圆E外．

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，2个向量的数量积的运算及点与圆的位置关系．