Question

2．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin2x，-1），向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cos2x，-$\frac{1}{2}$），函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，A为锐角，a=$\sqrt{13}$，c=2，且f（A）恰是f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值，求A和b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出向量$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$的坐标，进行数量积的运算，并根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式便可得出f（x）=$sin（4x-\frac{π}{6}）+2$，从而可以得出最小正周期T；
（Ⅱ）根据x的范围可求出$4x-\frac{π}{6}$的范围，从而根据正弦函数的图象便可得出x=$\frac{π}{6}$时，f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上取得最大值，从而得出A=$\frac{π}{6}$，然后在△ABC中由余弦定理即可得出b的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=（sin2x+\sqrt{3}cos2x，-\frac{3}{2}）$，$（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）•\overrightarrow{m}=si{n}^{2}2x+\sqrt{3}sin2xcos2x+\frac{3}{2}$=$\frac{1-cos4x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin4x+\frac{3}{2}$=$sin（4x-\frac{π}{6}）+2$；
∴$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）+2$；
∴$T=\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）+2$，x$∈[0，\frac{π}{4}]$时，$-\frac{π}{6}≤4x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$；
∴$4x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时，f（x）取最大值3，此时$x=\frac{π}{6}$；
∴由A是锐角，f（A）=3得，A=$\frac{π}{6}$；
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA；
∴$13={b}^{2}+4-2\sqrt{3}b$；
解得$b=3\sqrt{3}$，或-$\sqrt{3}$（舍去）；
∴$A=\frac{π}{6}，b=3\sqrt{3}$．

点评 考查向量加法、数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式，正弦函数在闭区间上的最大值，余弦定理，要熟悉正弦函数图象．