Question

已知O为坐标原点，曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，过点F的直线交曲线C于A、B两点，且曲线C在A、B两点处的切线分别为l₁、l₂．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证：直线l₁、l₂互相垂直；
（3）y轴上是否存在一点R，使得直线RF始终平分∠ARB？若存在，求出R点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等满足抛物线的定义，可直接得到曲线C的方程．
（2）根据（1）中方程求出焦点坐标，然后设直线方程为y=kx+1，联立直线与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之积，再对抛物线方程进行求导得到直线l₁、l₂的斜率，再由k₁k₂=-1可得证．
（3）先假设y轴上存在一点R满足条件，，再表示出k_AR和k_BR代入到k_AR+k_BR=0中，再由（2）中的两根之和与两根之积可得到R的坐标．

解答：解：（1）∵P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，
∴曲线C是以F（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，其方程为x²=4y
（2）焦点F（0，1），设直线AB：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线方程与抛物线方程联立得x²-4kx-4=0，
∴x₁x₂=-4，又y'=

1

2

x，
∴直线l₁的斜率为k₁=

1

2

x₁，直线l₂的斜率为k₂=

1

2

x₂，
∴k₁k₂=

1

4

•x₁x₂=-1，即直线l₁和l₂互相垂直．
（3）假设y轴上存在一点R（0，y₀），使得直线RF始终平分∠ARB，则有k_AR+k_BR=0
∴

y0-y1

0-x1

+

y0-y2

0-x2

=0
∴x₂（y₀-y₁）+x₁（y₀-y₂）=0∴y₀（x₂+x₁）-（x₂y₁+x₁y₂）=0
∴y0(x2+x1)-

1

4

x1x2( x2+x1)=0
∴y₀+1=0∴y₀=-1，即存在R（0，-1）满足条件．

点评：本题主要考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题．考查综合运用能力．