Question

某租赁公司拥有 汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆． 租出的车每辆每月需要维护费200元．
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？

Answer 1

分析：（1）根据3600元比3000元超出部分与50的商，可得未租出的共有12辆，再用总车辆数减去12辆即得能租出的车辆数；
（2）设每辆车的月租金为x元，根据题意建立关于x的表达式，化简整理可得x的二次函数．结合二次函数的图象与性质加以研究，即可得到每辆车的租金为4100元时，租赁公司的月收益可达最大值，代入即可求出租赁公司的最大月收益．

解答：解：（1）∵当每辆车的月租金定为3600元时，比3000元增加了600元
而当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．
∴未租出的共有

600

50

=12辆，
因此，可得能租出的车辆数为100-12=88辆；
（2）设每辆车的月租金为x元，可得租赁公司的月收益为f（x）=（100-

x-3000

50

）（x-200）
化简整理，得f（x）=

1

50

（8000-x）（x-200）
∵二次项系数为-

1

50

＜0，且f（x）的零点为x₁=8000，x₂=200
∴函数y=f（x）图象的对称轴方程为x=

1

2

（8000+200）=4100
由此可得当x=4100时，y=f（x）的最大值为f（4100）=304200
即每辆车的月租金为4100元时，租赁公司的月收益可达最大值，最大月收益为304200元．

点评：本题给出租赁公司出租汽车的例子，求租赁公司的最大月收益．着重考查了二次函数的图象与性质和运用函数知识解决实际应用问题的知识，属于中档题．