Question

某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；
（Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．

解答：解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，
未租出的车辆数为

3600-3000

50

=12，
所以这时租出了88辆车．
（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，
则租赁公司的月收益为f(x)=(100-

x-3000

50

)(x-150)-

x-3000

50

×50，
整理得f(x)=-

x2

50

+162x-21000=-

1

50

(x-4050)2+307050．
所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．

点评：本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．