Question

如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．

（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；

（2）设直线交椭圆于、两点，证明．

Answer 1

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.

(Ⅰ)证明：由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故

即.

因此，。

解：在Rt△OFA中，

于是，直线OA的斜率.设直线BF的斜率为k，则

这时，直线BF的方程为（x－c），令x=0，则

所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）.

(Ⅱ)证明：由（Ⅰ），得直线BF的方程为y=kx+a，且

         ②

由已知，设P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）,则它们的坐标满足方程组

               ③

由方程组③消去y，并整理得

.     ④

由①、②和④，

 

由方程组③消去x，并整理得

  ⑤

由式②和⑤，

 

综上，得到

。

注意到,得