题目内容
在△ABC中，∠A=
，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合）且|
|2=|
|2+
•
，则∠B=（ ）
| π |
| 6 |
| AB |
| AD |
| BD |
| DC |
分析：作高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p-x，BE=p+q-x，根据|
|2=|
|2+
•
，可得pq=BD•CD=q（q+2p-2x），从而可得结论．
| AB |
| AD |
| BD |
| DC |
解答：解：作高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p-x，BE=p+q-x，
则AD2=AE2+DE2=h2+（p-x）2，AB2=AE2+BE2=h2+（p+q-x）2，
所以AB2-AD2=（p+q-x）2-（p-x）2=2pq-2xq+q2，
∵|
|2=|
|2+
•
，
∴pq=BD•CD=q（q+2p-2x），
∵q≠0，∴p=q+2p-2x，
∴x=
=
，
即E为BC中点，于是ABC为等腰三角形．
∵顶角为
，∴底角B=
故选B．
则AD2=AE2+DE2=h2+（p-x）2，AB2=AE2+BE2=h2+（p+q-x）2，
所以AB2-AD2=（p+q-x）2-（p-x）2=2pq-2xq+q2，
∵|
| AB |
| AD |
| BD |
| DC |
∴pq=BD•CD=q（q+2p-2x），
∵q≠0，∴p=q+2p-2x，
∴x=
| p+q |
| 2 |
| BC |
| 2 |
即E为BC中点，于是ABC为等腰三角形．
∵顶角为
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
故选B．
点评：本题主要考查了解三角形问题．解题的关键是通过题设条件建立数学模型，考查了学生分析问题和解决问题的能力．
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