Question

设A，B，C三点对应的复数分别为z₁，z₂，z₃满足z₁+z₂+z₃=0，且|z₁|=|z₂|=|z₃|=1
（1）证明：△ABC是内接于单位圆的正三角形；
（2）求S_△ABC；

Answer 1

解：（1）∵|z₁|=|z₂|=|z₃|=1
∴A，B，C三点都在单位圆上
∵A，B，C三点对应的复数分别为z₁，z₂，z₃满足z₁+z₂+z₃=0
∴z₁=-（z₂+z₃）
∴1==（z₂+z₃）（）=+=-1，
∴|z₂-z₃|²=（z₂-z₃）（）=3，
∴|z₂-z₃|=，
同理可得|z₁-z₂|=|z₁-z₃|=，
∴△ABC是内接与单位圆的正三角形，
（2）S_△ABC=|AB|•|AC|sinA
=
分析：（1）要证明三角形是正三角形，从三角形的边长入手，根据三角形的模长都是1，得到三个复数对应的点在单位圆上，根据三个复数的和是0，得到其中一个复数可以用其他两个来表示，利用复数的运算律，得到任意两个复数的差的模长是相等的．
（2）根据三角形是一个正三角形，且边长已知，利用正弦定理表示出三角形的面积，计算得到结果．
点评：本题考查复数的代数表示及其几何意义，考查复数的模长，考查三角形的面积，是一个综合题，解题的关键是怎么证明三角形是正三角形，可以从边长入手，也可以从角度入手．