题目内容
设A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3满足z1+z2+z3=0，且|z1|=|z2|=|z3|=1（1）证明：△ABC是内接于单位圆的正三角形；
（2）求S△ABC；
分析：（1）要证明三角形是正三角形，从三角形的边长入手，根据三角形的模长都是1，得到三个复数对应的点在单位圆上，根据三个复数的和是0，得到其中一个复数可以用其他两个来表示，利用复数的运算律，得到任意两个复数的差的模长是相等的．
（2）根据三角形是一个正三角形，且边长已知，利用正弦定理表示出三角形的面积，计算得到结果．
（2）根据三角形是一个正三角形，且边长已知，利用正弦定理表示出三角形的面积，计算得到结果．
解答：解：（1）∵|z1|=|z2|=|z3|=1
∴A，B，C三点都在单位圆上
∵A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3满足z1+z2+z3=0
∴z1=-（z2+z3）
∴1=z1
=（z2+z3）（
+
）=
z3+
z2=-1，
∴|z2-z3|2=（z2-z3）（
-
）=3，
∴|z2-z3|=
，
同理可得|z1-z2|=|z1-z3|=
，
∴△ABC是内接与单位圆的正三角形，
（2）S△ABC=
|AB|•|AC|sinA
=
•
•
•
=
∴A，B，C三点都在单位圆上
∵A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3满足z1+z2+z3=0
∴z1=-（z2+z3）
∴1=z1
. |
| z1 |
. |
| z2 |
. |
| z3 |
. |
| z2 |
. |
| z3 |
∴|z2-z3|2=（z2-z3）（
. |
| z2 |
. |
| z3 |
∴|z2-z3|=
| 3 |
同理可得|z1-z2|=|z1-z3|=
| 3 |
∴△ABC是内接与单位圆的正三角形，
（2）S△ABC=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 4 |
点评：本题考查复数的代数表示及其几何意义，考查复数的模长，考查三角形的面积，是一个综合题，解题的关键是怎么证明三角形是正三角形，可以从边长入手，也可以从角度入手．
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