Question

若矩形ABCD的两条对角线的交点为M（2，0），AB边所在直线方程为x-3y-6=0，点N（-1，1）在AD边所在直线上，则矩形ABCD外接圆的标准方程为

 

．

Answer 1

分析：由矩形的性质得到直线AD与直线AB垂直，因为两直线垂直时斜率的乘积为-1，所以由直线AB的斜率得到直线AD的斜率，又直线AD过点N，由N的坐标和求出的直线AD的斜率写出直线AD的方程，与直线AB的方程联立即可求出点A的坐标，然后利用两点间的距离公式求出|AM|的长即为矩形外接圆的半径，根据矩形的性质得到矩形外接圆的圆心即为点M，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．

解答：解：由题意得：AD⊥AB，又直线AB方程为x-3y-6=0，斜率为

1

3

，
所以直线AD的斜率为3，又直线AD过N（-1，1），
则直线AD的方程为y-1=3（x+1），即3x+y+2=0，
联立得：

3x+y+2=0 x-3y-6=0

，解得：

x=0 y=-2

，
所以点A的坐标为（0，-2），又M（2，0），
则|AM|=

(0-2)2+(-2-0)2

=2

2

，又矩形的外接圆的圆心为M（2，0），
∴圆M的方程为：（x-2）²+y²=8．
故答案为：（x-2）²+y²=8

点评：此题考查学生掌握矩形的性质及两直线垂直时斜率的关系，灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．