Question

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上．
（I）求矩形ABCD外接圆的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点N（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆有公共点，求直线的倾斜角的范围．

Answer 1

分析：（I）根据AD⊥AB算出AD的斜率为-3，利用点斜式方程列式，得到AD边所在直线的方程为3x+y+2=0，将AD、AB方程联解得到A（0，-2）．求出矩形ABCD的对角线交点M（2，0）即为外接圆圆心，利用圆的标准方程即可得到外接圆的方程为（x-2）²+y²=8；
（II）由直线方程的点斜式，设直线l：y=k（x+2），利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式，解之得-1≤k≤1，结合斜率与倾斜角之间的关系即可算出直线的倾斜角的范围．

解答：解：（I）∵AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD⊥AB，
∴直线AD的斜率为-3．…（2分）
又∵点T（-1，1）在直线AD上，
∴AD边所在直线的方程为y-1=-3（x+1）．
化简，得3x+y+2=0．…（4分）
由

3x+y+2=0 x-3y-6=0

联解，得A坐标为（0，-2），…（6分）
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．
∴M（2，0）为矩形ABCD外接圆的圆心．
而|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
∴矩形ABCD外接圆的方程为（x-2）²+y²=8．…（10分）
（II）由直线l经过点N（-2，0），设直线l：y=k（x+2），
∵直线l与矩形ABCD的外接圆有公共点
∴点M（2，0）与直线l的距离小于或等于半径
即

|4k|

k2+1

≤2

2

，解之得k²≤1，即-1≤k≤1
∴直线的倾斜角的范围为[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）…（14分）

点评：本题求矩形ABCD的外接圆方程并求直线与圆相交时的倾斜角范围，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．