题目内容

已知－1≤x≤1，n≥2且n∈N，求证： (1－x)n+(1+x)n≤2n。

答案：
解析：

证明：∵－1≤x≤1，故可设x=cos2α，(0≤α≤)

则1－x=1－cos2α=2sin2α，

1+x=1+cos2α=2cos2α

∵n≥2，且n∈N

∴sin2n－2α≤1，cos2n－2α≤1

∴sin2nα≤sin2α，cos2nα≤cos2α

∴(1－x)n+(1+x)n

=2nsin2nα+2ncos2nα

≤2nsin2α+2ncos2α=2n

故原不等式(1－x)n+(1+x)n≤2n成立。


练习册系列答案
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已知在数列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若
1
2
＜t＜2，bn=
2an
1+
a
2
n
（n∈N*），求证：
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜2n-2-
n
2
．
已知在数列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）当t=2时，令bn=
an-1
(an+1)(an+1+1)
，数列{bn}前n项的和为Sn，求证：Sn＜
1
6

（Ⅲ）设cn=
1
2
an
(2n+1)(2n+1+1)
，数列{cn}前n项的和为Tn，求同时满足下列两个条件的t的值：
（1）Tn＜
1
6

（2）对于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在k∈N*，当n≥k时，Tn＞m．
已知函数f(x)=(
13
)x．
（1）若f-1（mx2+mx+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f2（x）-2af（x）+3的最小值g（a）．
（3）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．
已知：（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n（n≥2，n∈N*）
（1）当n=5时，求a2的值．
（2）设Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
a0-1
，求证：
n
2
＜Sn≤n，n∈N*．
已知在数列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若
1
2
＜t＜2，bn=
2an
1+
a2n
（n∈N*），求证：
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜2n-2-
n
2
．

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