题目内容
定义F(x,y)=(1+x)y,其中x,y∈(0,+∞).(1)令函数f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1)),其图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在x(-4<x<-1)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围;
(2)令函数g(x)=F(1,log2[(lnx-1)ex+x]),是否存在实数x∈[1,e],使曲线y=g(x)在点x=x处的切线与y轴垂直?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
(3)当x,y∈N,且x<y时,求证:F(x,y)>F(y,x).
【答案】分析:(1)先求出f(x)的解析式,设曲线C在x(-4<x<-1)处有斜率为-8的切线,建立等式,根据log2(x3+ax2+bx+1)>0消去b得-2-ax-8<0,使得2x2+ax+8>0 在-4<x<-1有解,求出a的取值范围即可;
(2)先求g′(x)=(+lnx-1)ex+1,令h(x)=+lnx-1,然后利用导数研究h(x)在区间[1,e]上的最小值,从而求出g′(x)的取值范围,曲线y=g(x)在点x=x处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x)=0有实数解,而g′(x)>0,即方程g′(x)=0无实数解,从而得到结论;
(3)令h(x)=,x≥1,则h′(x)=,令p(x)=-ln(1+x),x≥0,利用导数研究p(x)在[0,+∞)上的单调性,从而得到函数h(x)在[1,+∞)上的单调性,即可证得结论.
解答:解:(1)f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1,
设曲线C在x(-4<x<-1)处有斜率为-8的切线,
又由题设知log2(x3+ax2+bx+1)>0,f′(x)=3x2+2ax+b,3x2+2ax+b=-8 ①
∴存在实数b使得-4<x<-1 ②有解,(3分)
x3+ax2+bx>0 ③
由①得b=-8-3-2ax,代入③得-2-ax-8<0,
∴由 2x2+ax+8>0 在-4<x<-1有解,
得2×(-4)2+a×(-4)+8>0或2×(-1)2+a×(-1)+8>0,
∴a<10或a<10,∴a<10、(5分)
(2)∵g(x)=(lnx-1)ex+x,
∴g′(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1=+(lnx-1)ex+1=(+lnx-1)ex+1.(6分)
设h(x)=+lnx-1、则h′(x)=-+=,
当x∈[1,e]时,h′(x)≥0.
h(x)为增函数,因此h(x)在区间[1,e]上的最小值为ln1=0,即+lnx-1≥0.
当x∈[1,e]时,ex>0,+lnx-1≥0,
∴g′(x)=(+lnx-1)ex+1≥1>0.(8分)
曲线y=g(x)在点x=x处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x)=0有实数解,
而g′(x)>0,即方程g′(x)=0无实数解.
故不存在实数x∈[1,e],使曲线y=g(x)在点x=x处的切线与y轴垂直.(9分)
(3)证明:令h(x)=,x≥1,由h′(x)=,
又令p(x)=-ln(1+x),x≥0,
∴p′(x)=-=≤0,
∴p(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴当x>0时,有p(x)<p(0)=0,
∴当x≥1时,有h′(x)<0,
∴h(x)在[1,+∞)上单调递减,(11分)
∴当1≤x<y时,有>,
∴yln(1+x)>xln(1+y),∴(1+x)y>(1+y)x,
∴当x,y∈N?,且x<y时,F(x,y)>F(y,x).(13分)
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数求闭区间上函数的最值,同时考查了转化的数学思想,属于中档题.
(2)先求g′(x)=(+lnx-1)ex+1,令h(x)=+lnx-1,然后利用导数研究h(x)在区间[1,e]上的最小值,从而求出g′(x)的取值范围,曲线y=g(x)在点x=x处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x)=0有实数解,而g′(x)>0,即方程g′(x)=0无实数解,从而得到结论;
(3)令h(x)=,x≥1,则h′(x)=,令p(x)=-ln(1+x),x≥0,利用导数研究p(x)在[0,+∞)上的单调性,从而得到函数h(x)在[1,+∞)上的单调性,即可证得结论.
解答:解:(1)f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1,
设曲线C在x(-4<x<-1)处有斜率为-8的切线,
又由题设知log2(x3+ax2+bx+1)>0,f′(x)=3x2+2ax+b,3x2+2ax+b=-8 ①
∴存在实数b使得-4<x<-1 ②有解,(3分)
x3+ax2+bx>0 ③
由①得b=-8-3-2ax,代入③得-2-ax-8<0,
∴由 2x2+ax+8>0 在-4<x<-1有解,
得2×(-4)2+a×(-4)+8>0或2×(-1)2+a×(-1)+8>0,
∴a<10或a<10,∴a<10、(5分)
(2)∵g(x)=(lnx-1)ex+x,
∴g′(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1=+(lnx-1)ex+1=(+lnx-1)ex+1.(6分)
设h(x)=+lnx-1、则h′(x)=-+=,
当x∈[1,e]时,h′(x)≥0.
h(x)为增函数,因此h(x)在区间[1,e]上的最小值为ln1=0,即+lnx-1≥0.
当x∈[1,e]时,ex>0,+lnx-1≥0,
∴g′(x)=(+lnx-1)ex+1≥1>0.(8分)
曲线y=g(x)在点x=x处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x)=0有实数解,
而g′(x)>0,即方程g′(x)=0无实数解.
故不存在实数x∈[1,e],使曲线y=g(x)在点x=x处的切线与y轴垂直.(9分)
(3)证明:令h(x)=,x≥1,由h′(x)=,
又令p(x)=-ln(1+x),x≥0,
∴p′(x)=-=≤0,
∴p(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴当x>0时,有p(x)<p(0)=0,
∴当x≥1时,有h′(x)<0,
∴h(x)在[1,+∞)上单调递减,(11分)
∴当1≤x<y时,有>,
∴yln(1+x)>xln(1+y),∴(1+x)y>(1+y)x,
∴当x,y∈N?,且x<y时,F(x,y)>F(y,x).(13分)
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数求闭区间上函数的最值,同时考查了转化的数学思想,属于中档题.
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