Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），令函数f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））的图象为曲线C，曲线C与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O向曲线C作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值．

Answer 1

分析：欲求围成图形的面积，利用定积分计算面积，故先要求出被积函数及积分上下限．所以要求出在切点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=n处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答：解：∵F（x，y）=（1+x）^y
∴f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））=2^log_2（x^2_-4x+9）=x²-4x+9，
故A（0，9），
又过坐标原点O向曲线C作切线，
切点为B（n，t）（n＞0），f′（x）=2x-4．
∴

t=n2-4n+9 t n =2n-4

，
解得B（3，6），
∴S=

∫

3 0

(x2-4x+9-2x)dx=(

x3

3

-3x29x)

|

3 0

=9．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分在求面积中的应用等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．