Question

如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM：MB=CN：NB=CP：PD．
求证：（1）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP；
（2）平面MNP与平面ACD的交线∥AC．

Answer 1

分析：（1）由平行线分线段成比例可知AC∥MN，由线面平行的判断可得AC∥平面MNP，同理可证BD∥平面MNP；
（2）在AD上取点Q，使CP：PD=AQ：QD，可证PQ为平面MNP与平面ACD的交线，由平行线分线段成比例易证结论．

解答：解：（1）由题意AM：MB=CN：NB，由平行线分线段成比例可知：AC∥MN，
又因为MN?平面MNP，AC在平面MNP外，
由线面平行的判定定理可得：AC∥平面MNP，
同理，由CN：NB=CP：PD可得BD∥NP，
由BD在平面外，NP在平面内，故有BD∥平面MNP；
（2）在AD上取点Q，使CP：PD=AQ：QD，
由平行线分线段成比例可知：PQ∥AC，又由（1）知AC∥MN，
所以PQ∥MN，故PQ?平面MNP，又PQ?平面ACD，
所以PQ为平面MNP与平面ACD的交线，由PQ∥AC可知，
平面MNP与平面ACD的交线∥AC．

点评：本题为线面平行的证明，注意平面内外的两线是证明线面平行的关键，属中档题．