Question

对于以下四个命题：
①若函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数，则log_a2＜0；
②设函数f(x)=2x+

1

2x

-1(x＜0)，则函数f（x）有最小值1；
③函数y=（sinx+cosx）²-1的最小正周期是2π．
其中正确命题的序号是

①

．

Answer 1

分析：①利用对数函数的单调性即可判断出是否正确；
②利用基本不等式的性质和不等式的基本性质即可得出结论；
③利用平方关系和倍角公式进行化简，再利用三角函数的周期公式即可求出周期，进而判断出结论．

解答：解：①∵函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数，∴0＜a＜1，∴log_a2＜log_a1=0，故①正确；
②∵函数f(x)=2x+

1

2x

-1(x＜0)，∴f（x）=-(-2x+

1

-2x

)-1≤-2

(-2x)× 1 -2x

-1=-3，当且仅当x=-

1

2

时取等号，故函数f（x）有最大值，而无最小值；
③函数y=（sinx+cosx）²-1=sin2x，∴函数周期T=

2π

2

=π，故③不正确．
故答案为①

点评：熟练掌握函数的单调性、基本不等式的性质和三角函数的周期性是解题的关键．