Question

已知函数f(x)=log

1

2

(x2-mx-m)
（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．
（3）若函数f（x）在区间(-∞，1-

3

)上是增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要使函数有意义，只需真数大于零，解不等式即可得函数的定义域；
（2）若函数的值域为R，则真数应能取遍一切正数，只需y=x²-mx-m的判别式不小于零，即可解得m的范围；
（3）函数f（x）在区间(-∞，1-

3

)上是增函数包含两层含义，y=x²-mx-m在区间(-∞，1-

3

)上是减函数且x²-mx-m＞0在区间(-∞，1-

3

)上恒成立，分别利用二次函数的图象和性质和单调性即可解得m的范围

解答：解：（1）若m=1，则f(x)=log

1

2

(x2-x-1)
要使函数有意义，需x²-x-1＞0，解得x∈(-∞，

1- 5

2

)∪(

1+ 5

2

，+∞)
∴若m=1，函数f（x）的定义域为(-∞，

1- 5

2

)∪(

1+ 5

2

，+∞)．
（2）若函数f（x）的值域为R，则x²-mx-m能取遍一切正实数，
∴△=m²+4m≥0，即m∈（-∞，-4]∪[0，+∞）
∴若函数f（x）的值域为R，实数m的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞）
（3）若函数f（x）在区间(-∞，1-

3

)上是增函数，
则y=x²-mx-m在区间(-∞，1-

3

)上是减函数且x²-mx-m＞0在区间(-∞，1-

3

)上恒成立，
∴

m

2

≥1-

3

，且（1-

3

）²-m（1-

3

）-m≥0
即m≥2-2

3

且m≤2
∴m∈[2-2

3

，2]

点评：本题主要考查了对数函数的图象和性质，函数定义域的求法，函数值域的意义，复合函数的单调性，不等式恒成立问题的解法，属基础题