Question

14．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=1，点G为△ABC的重心，$\overrightarrow{AG}$⊥$\overrightarrow{BG}$，则a²+b²=5．

Answer 1

分析 连接CG，延长交AB于D，可得D为中点，根据三角形的重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得DG、CD的值，再利用余弦定理变形求得a²+b²的值．

解答 解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，
∵AG⊥BG，c=1，∴DG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
由重心的性质得，CD=3DG，即CD=$\frac{3}{2}$AB=$\frac{3}{2}$．
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC．
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+BC²=a²+b²=2AD²+2CD² =2×${（\frac{1}{2}）}^{2}$+2×${（\frac{3}{2}）}^{2}$=5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查三角形的重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，余弦定理的应用，属于中档题．