Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知两点分别为椭圆的右顶点和上顶点，且，右准线的方程为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交椭圆于另一点，交于点.若以为直径的圆经过原点，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1);(2)或.

【解析】

(1)由右准线的方程为以及可列出方程组解得即可求出椭圆的方程.

(2) 设的方程为,与椭圆方程联立,求出;联立可得,由可知,从而可求出,进而可求直线的方程.

解:(1)设椭圆的焦距为.由题意得,解得.

所以椭圆的标准方程为:.

(2)由题意得直线不垂直于轴,设的方程为

联立,消得.

又直线过点,则方程必有一根为2,则.

代入直线,得点.联立,所以.

又以为直径的圆过原点,所以.

则,解得,所以.

所以直线的方程为或.