Question

如图所示，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，E，F分别为AB、SC的中点，且AD=SD=2，DC=3．
（1）求证：EF∥平面SAD；
（2）求异面直线AD、EF所成角的余弦值；
（3）四棱锥S-ABCD有外接球吗？若有，求出外接球的表面积；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）证明EF∥平面SAD，利用线面平行的判定，证明线线平行即可，设SD的中点为G，连接GF、AG，证明EF∥AG，即可得到结论；
（2）∠GAD（或其补角）为异面直线AD，EF所成角，在Rt△GDA中，利用余弦函数可求；
（3）根据DS、DA、DC两两垂直，可知DB为四棱锥的外接球的直径，故可求四棱锥S-ABCD外接球的表面积．

解答：（1）证明：设SD的中点为G，连接GF、AG，则可知GF∥DC且GF=

1

2

CD
又E为AB的中点，故AE∥DC，AE=

1

2

CD
∴GF∥AE，且GF=AE
∴四边形AEFG为平行四边形，∴EF∥AG…（2分）
又EF?平面SAD，AG?平面SAD
∴EF∥平面SAD…（4分）
（2）解：由（1）知，EF∥AG，所以∠GAD（或其补角）为异面直线AD，EF所成角…．（6分）
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥DA
在Rt△GDA中，AD=2，GD=1，故GA=

5

∴cos∠GAD=

AD

AG

=

2 5

5

，
即异面直线AD，EF所成角的余弦值为

2 5

5

…..（8分）
（3）解：∵DS、DA、DC两两垂直，所以可知DB为四棱锥的外接球的直径
又DB=

DS2+DA2+DC2

=

17

∴S=4π×(

17

2

)2=17π，即四棱锥S-ABCD外接球的表面积为17π…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查线线角，考查球的表面积，确定线线角，球的直径是关键．