题目内容
已知椭圆E：
（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F1，F2，且
．（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F1M⊥F2N，圆C是以MN为直径的圆，其面积为S，求S的最小值以及当S取最小值时圆C的方程．
【答案】分析：（1）设左、右焦点分别为F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0），代入
求出c，再根据椭圆的定义求出2a，从而求得椭圆的方程；
（2）设出M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），根据F1M⊥F2N，得到mn=-9，要求以MN为直径的圆的面积最小，即求MN最小，利用基本不等式即可求得线段MN的最小值，从而求得S的最小值以及当S取最小值时圆C的方程．
解答：解：（1）设点F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），
则
，
故
，可得c=4，
所以
，
故
，
所以椭圆E的方程为
．
（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），
则
，又
，
可得
，即mn=-9，
又
，（当且仅当|m|=|n|时取等号）
故
，且当S取最小值时，
有m=3，n=-3或m=-3，n=3，
此时圆C的方程为（x-5）2+y2=9．
点评：此题是个中档题．考查椭圆的定义和标准方程的求法，以及圆与椭圆的综合等知识，同时考查了学生创造性分析解决问题的能力．
求出c，再根据椭圆的定义求出2a，从而求得椭圆的方程；（2）设出M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），根据F1M⊥F2N，得到mn=-9，要求以MN为直径的圆的面积最小，即求MN最小，利用基本不等式即可求得线段MN的最小值，从而求得S的最小值以及当S取最小值时圆C的方程．
解答：解：（1）设点F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），
则
，故
，可得c=4，所以
，故
，所以椭圆E的方程为
． （2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），
则
，又，可得
，即mn=-9，又
，（当且仅当|m|=|n|时取等号）故
，且当S取最小值时，有m=3，n=-3或m=-3，n=3，
此时圆C的方程为（x-5）2+y2=9．
点评：此题是个中档题．考查椭圆的定义和标准方程的求法，以及圆与椭圆的综合等知识，同时考查了学生创造性分析解决问题的能力．
练习册系列答案
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（a>b>0）的离心率e＝
，左、右焦点分别为F1、F2，点P（2,
），点F2在线段PF1的中垂线上
，0）且互相垂直的两条直线，l1交E于A， B两点，l2交E于C，D两点，求l1的斜率k的取值范围；
（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，离心率为
，直线l：x+2y-2=0与x轴，y轴分别交于点A，B．
，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面积为
，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．
≤
•
≤
，求k的取值范围．
（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为
，A（﹣a，0），
，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．
≤
·
≤
，求k的取值范围．
（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F1，F2，且
．