Question

如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG∥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）根据圆直径的性质，得BC⊥AC，由PA⊥平面ABC得BC⊥PA．利用线面垂直的判定定理，可BC⊥平面PAC；
（2）取延长OG，交AC于M，连结GM、QM，证出QM是△PAC的中位线，得QM∥PC．利用线面平行的判定定理证出QM∥平面PBC，同理可得QO∥平面PBC，根据面面平行的判定定理，可得平面OQG∥平面PBC．

解答：解：（1）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；
（2）取延长OG，交AC于M，连结GM、QM，
∵G为△AOC的重心，∴OM是△AOC的中线，
∵Q为PA的中点，M为AC的中点，∴QM∥PC，
∵QM?平面PBC，PC?平面PBC，∴QM∥平面PBC，
同理可得QO∥平面PBC，
∵QM、QO是平面OQG内的相交直线，∴平面OQG∥平面PBC．

点评：本题给出直线PA与底面圆所在平面垂直，求证线面垂直和面面平行．着重考查了空间垂直、平行位置关系的判定与证明等知识，属于中档题．