题目内容

(2009•奉贤区二模)设实数x,y满足x2+(y-1)2=1,若对满足条件x,y,不等式
y
x-3
+c≥0恒成立,则c的取值范围是
c≥
3
4
c≥
3
4
分析:由题意,借助已知动点在圆x2+(y-1)2=1上任意动,而所求式子
y
x-3
的形式可以联想成在单位圆上动点P与点(3,0)构成的直线的斜率,进而不等式
y
x-3
≥-c恒成立,即-c小于等于
y
x-3
的最小值,从而得出c的取值范围.
解答:解:由题意作出如下图形:
令k=
y
x-3
,则k可看作圆x2+(y-1)2=1上的动点P到点(3,0)的连线的斜率,由于连线与圆相切时,斜率k最小,最小值为-
3
4

∵不等式
y
x-3
+c≥0恒成立,
∴不等式
y
x-3
≥-c恒成立,即-c小于等于
y
x-3
的最小值,
即:-c≤-
3
4
⇒c≥
3
4

则c的取值范围是c≥
3
4

故答案为:c≥
3
4
点评:此题重点考查了已知两点坐标写斜率,及直线与圆的相切与相交的关系,还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想.
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