Question

已知定义域为R的二次函数f（x）的最小值为0且有f（1+x）=f（1-x），直线g（x）=4（x-1）被f（x）的图象截得的弦长为，数列{a_n}满足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（I）求函数f（x）；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）设f（x）=a（x-1）²（a＞0），则直线g（x）=4（x-1）与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），，由 ，由此得到f（x）．
（II）由（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，知（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0∵a₁=2，所以a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（III）先表示出数列{b_n}的通项，再用错位相减法求和．
解答：解：（I）设f（x）=a（x-1）²（a＞0），则直线g（x）=4（x-1）与与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），…（2分）
∵∴a=1，f（x）=（x-1）²…（4分）
（II）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0…（5分）
∵a₁=2，∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0…（6分）
∴a_n+1-1=-1=1
数列{a_n-1}是首项为1，公比为的等比数列…（8分）
∴+1…（9分）

∴


=

点评：本题以函数为载体，考查数列知识，考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．