题目内容
16.设x∈R,M表示不超过x的最大整数.给出下列结论:①[3x]=3[x]
②若m,n∈R,则[m-n]≤[m]-[n];
③函数f(x)=x-[x]-定是周期函数:
④若方程[x]=ax有且仅有3个解,则a∈($\frac{3}{4}$,$\frac{4}{5}$]∪[$\frac{4}{3}$,$\frac{3}{2}$).
其中正确的结论有②③.(请填上你认为所有正确的结论序号)
分析 ①取x=0.5,则[3x]=[1.5]=1,而3[x]=3[0.5]=0,即可判断出正误;
②若m,n∈R,设m=k1+m0,n=k2+n0,k1,k2∈Z,m0,n0∈[0,1),可得[m0-n0]=0或-1,则[m]-[n]=k1-k2,[m-n]=k1-k2+[m0-n0],即可判断出正误;
③由图象即可判断出正误;
④先考虑3个解≥0时,则$\frac{3}{2}≤a<2$;同理可得3个解≤0时,则$\frac{2}{3}<a≤\frac{3}{4}$.即可判断出正误.
解答 解:①取x=0.5,则[3x]=[1.5]=1,而3[x]=3[0.5]=3×0=0,因此不正确;
②若m,n∈R,设m=k1+m0,n=k2+n0,k1,k2∈Z,m0,n0∈[0,1),
(m0-n0)∈(-1,1),∴[m0-n0]=0或-1,则[m]-[n]=k1-k2,[m-n]=[k1-k2+(m0-n0)]=k1-k2+[m0-n0]≤k1-k2,∴[m-n]≤[m]-[n],正确;
③由图象可知:函数f(x)=x-[x]是周期为1的周期函数;
④先考虑3个解≥0时,则$\frac{3}{2}≤a<2$;同理可得3个解≤0时,则$\frac{2}{3}<a≤\frac{3}{4}$.
因此若方程[x]=ax有且仅有3个解,则a∈($\frac{2}{3}$,$\frac{3}{4}$]∪[$\frac{3}{2}$,2),因此不正确.
综上可得:只有②③正确.
故答案为:②③.
点评 本题考查了高斯函数的性质、数形结合思想方法、分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
练习册系列答案
相关题目
1.已知过x轴上一点E(x0,0)(0<x0<$\sqrt{2}$)的直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1相交于M、N两点,若$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$为定值,则x0的值为( )
A. | 1 | B. | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
8.已知全集U=R,A={x|x<1},B={x|x≥2},则集合∁U(A∪B)=( )
A. | {x|1≤x<2} | B. | {x|1<x≤2} | C. | {x|x≥1} | D. | {x|x≤2} |