题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若不经过点的直线与椭圆相交于不同的两点,且直线与直线的斜率之和为1,试判断直线是否过定点.若过定点,请求出该定点;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)直线过定点.
【解析】
(1)先利用椭圆定义求出的值,结合的值可求出的值,从而得出椭圆的方程;
(2)先假设直线的斜率存在,设出直线方程,与椭圆方程联立,列出韦达定理,再依据两直线斜率之和为1,得出含有和的式子,利用因式分解,可得与的关系,最后讨论不存在的情况即可.
解:(1)易知,椭圆的左焦点为,由椭圆定义可得,∴,
所以,,因此,椭圆的方程为;
(2)设点、
①当直线的斜率存在时,设直线的方程为,易知.
将直线的方程与椭圆的方程联立,消去得,
由韦达定理得,.
直线和直线的斜率之和为.
化简得,即,
由于,所以,,所以,.
所以,直线的方程为,直线过定点;
②当直线与轴垂直时,设直线的方程为,此时点与点关于轴对称,则,直线和直线的斜率之和为,得.
此时,直线也过点.
综上所述,直线过定点.
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