题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点为
,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若不经过点的直线
与椭圆
相交于不同的两点
,且直线
与直线
的斜率之和为1,试判断直线
是否过定点.若过定点,请求出该定点;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)直线
过定点
.
【解析】
(1)先利用椭圆定义求出的值,结合
的值可求出
的值,从而得出椭圆
的方程;
(2)先假设直线的斜率存在,设出直线方程,与椭圆方程联立,列出韦达定理,再依据两直线斜率之和为1,得出含有
和
的式子,利用因式分解,可得
与
的关系,最后讨论不存在的情况即可.
解:(1)易知,椭圆的左焦点为
,由椭圆定义可得
,∴
,
所以,,因此,椭圆
的方程为
;
(2)设点、
①当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,易知
.
将直线的方程与椭圆
的方程联立
,消去
得
,
由韦达定理得,
.
直线和直线
的斜率之和为
.
化简得,即
,
由于,所以,
,所以,
.
所以,直线的方程为
,直线
过定点
;
②当直线与
轴垂直时,设直线
的方程为
,此时点
与点
关于
轴对称,则
,直线
和直线
的斜率之和为
,得
.
此时,直线也过点
.
综上所述,直线过定点
.

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