Question

如图A，B是单位圆O上的点，且A，B分别在第一，二象限．C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．若A点的坐标为（

3

5

，

4

5

）．记∠COA=α．
（Ⅰ）求

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据A点的坐标，由任意角的三角函数的定义，求出sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，利用二倍角公式把要求的式子化为

sin2α+2sinαcosα

3cos2α-1

，运算求得结果．
（Ⅱ）因为三角形AOB为正三角形，所以∠AOB=60°，由cos∠COB=cos（∠COA+60°）=cos（α+60°），再利用两角和差的余弦公式求得结果．

解答：解：（Ⅰ）因为A点的坐标为（

3

5

，

4

5

），根据三角函数定义可知，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

．

所以

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

=

sin2α+2sinαcosα

3cos2α-1

=20．

（Ⅱ）因为三角形AOB为正三角形，所以∠AOB=60°，
所以cos∠COB=cos（∠COA+60°）=cos（α+60°）=cosαcos60°-sinαsin60°=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．