Question

14．若$f（n）=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}+…+\frac{1}{3n}（n∈{N^*}）$，则当n≥3时，f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$．

Answer 1

分析 通过f（n）的表达式写成递推式f（n+1）的表达式，作差计算即得结论．

解答 解：∵$f（n）=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}+…+\frac{1}{3n}（n∈{N^*}）$，
∴f（n+1）=$\frac{1}{2n+3}$+$\frac{1}{2n+4}$+…+$\frac{1}{3n}$+$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$，
∴当n≥3时，f（n+1）-f（n）=（$\frac{1}{2n+3}$+$\frac{1}{2n+4}$+…+$\frac{1}{3n}$+$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$）-（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$+$\frac{1}{2n+3}$+$\frac{1}{2n+4}$+…+$\frac{1}{3n}$）
=$\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$，
故答案为：$\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$．

点评 本题考查数列的递推式，注意解题方法的积累，属于基础题．