Question

已知函数，过点P(1，0)作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，
（1）当t=2时，求函数f(x)的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，n+]内，总存在m+1个数a₁，a₂，....，a_m，
a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+...+g（a_m）<g（a_m+1）成立，求m的最大值

Answer 1

解：（10当t=2时，f（x）=x+，，
解得x>或x<-，则函数f（x）有单调增区间为
（2）设M、N两点的横坐标分别为，x_2
∵，切线PM的方程为：，
又∵切线PM过点P（1，0），∴有，
即，（1）
同理，由切线PN也过点（1，0），得 （2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程的两根，
∴
，

把（*）式代入，得，
 因此，函数g（t）的表达式为
（3）易知g（t）在区间上为增函数，
∴，
则，
∵对一切正整数n成立，
∴不等式对一切的正整数n成立
，
即对一切的正整数n成立，
∵
∴，
由于m为正整数，∴，
又当m=6时，存在，对所有的n满足条件。
因此，m的最大值为6。