题目内容
（2012•增城市模拟）已知f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x-2
（1）求f（x）的最大值及相应的x值；
（2）当α∈(0，
)时，已知f(
-
)=
，求f（α）的值．
（1）求f（x）的最大值及相应的x值；
（2）当α∈(0，
| π |
| 2 |
| α |
| 2 |
| π |
| 8 |
3
| ||
| 5 |
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为
sin(2x+
)，由此求得f（x）的最大值及相应的x值．
（2）由已知f(
-
)=
，求出sinα 的值，再由同角三角函数的基本关系求出cosα的值，代入f（α）=（sinα+cosα）2+2cos2α-2运算求得结果．
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）由已知f(
| α |
| 2 |
| π |
| 8 |
3
| ||
| 5 |
解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x-2（1分）
=1+sin2x+1+cos2x-2（3分）
=sin2x+cos2x=
sin(2x+
)．（5分）
所以f（x）的最大值是
，且当2x+
=2kπ+
，即x=kπ+
(k∈Z)时取得 （7分）
（2）∵f(
-
)=
sin[2(
-
)+
]=
sinα，（9分）
∴sinα=
．（10分）
又∵α∈(0，
)，∴cosα=
，（11分）
∴f（α）=（sinα+cosα）2+2cos2α-2（12分）
=(
)2+2(
)2-2（13分）
=
．（14分）
=1+sin2x+1+cos2x-2（3分）
=sin2x+cos2x=
| 2 |
| π |
| 4 |
所以f（x）的最大值是
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
（2）∵f(
| α |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 2 |
| α |
| 2 |
| π |
| 8 |
| π |
| 4 |
| 2 |
∴sinα=
| 3 |
| 5 |
又∵α∈(0，
| π |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
∴f（α）=（sinα+cosα）2+2cos2α-2（12分）
=(
| 7 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
=
| 31 |
| 25 |
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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