Question

在如图所示的平面直角坐标系中，已知点．A（1，0）和点B（-1，0），|

OC

|=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若x=

3

4

π，设点D为线段OA上的动点，求|

OC

+

OD

|的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，向量

m

=

BC

，

n

=(1-cosx，sinx-2cosx)，求

m

•

n

的最小值及对应的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 设D（t，0）（0≤t≤1），化简 |

OC

+

OD

|2=

1

2

-

2

t+t2+

1

2

=t2-

2

t+1=(t-

2

2

)2+

1

2

(0≤t≤1)，利用二次函数的性质求得它的最小值．
（Ⅱ）由题意得

m

•

n

=1-cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1-

2

sin（2x+

π

4

），再利用
正弦函数的定义域和值域 求出它的最小值．

解答：解：（Ⅰ）若x=

3

4

π，设D（t，0）（0≤t≤1），可得C(-

2

2

，

2

2

)，
所以，

OC

+

OD

=(-

2

2

+t，

2

2

)，
所以 |

OC

+

OD

|2=

1

2

-

2

t+t2+

1

2

=t2-

2

t+1…（3分）
=(t-

2

2

)2+

1

2

(0≤t≤1)，
所以当t=

2

2

时，|

OC

+

OD

|2取得最小值为

1

2

，故|

OC

+

OD

|最小值为

2

2

．…（6分）
（Ⅱ）由题意得C（cosx，sinx），

m

=

BC

=(cosx+1，sinx)
则

m

•

n

=1-cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1-

2

sin（2x+

π

4

）．…（9分）
因为x∈[0，

π

2

]，所以

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

．
所以当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，sin(2x+

π

4

)取得最大值1，
所以x=

π

8

时，

m

•

n

=1-

2

sin(2x+

π

4

)取得最小值1-

2

，
所以

m

•

n

的最小值为1-

2

，此时x=

π

8

． …（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．