题目内容

 已知椭圆的一条准线为,且与抛物线有相同的焦点.  

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设点是该椭圆的左准线与轴的交点,是否存在过点的直线与椭圆相交于两点,且线段的中点恰好落到由该椭圆的两个焦点、两个短轴顶点所围成的四边形区域内(包括边界)?若存在,求出直线的斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.  

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解:(Ⅰ)依题意,易知椭圆的方程为.     .              …………4分

(Ⅱ)椭圆的左准线方程为,点P的坐标

假设存在直线符合题意,其斜率显然存在,设直线的方程为.            ………5分

设点的坐标分别为线段的中点为,  

代入椭圆,得.……① ………6分

解得.……②             …………7分

,于是,  

因为,所以点不可能在轴的右边,           …………9分

又直线,方程分别为,则必有  

 即亦即.   …………11分

解得,此时②也成立.                         …………12分

 

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