Question

六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图平行四边形ABCD中，AC²+BD²=2（AB²+AD²），那么在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，类似的，有AC₁²+BD₁²+A₁C²+B₁D²=k（AB²+AD²+AA₁²），则k=

4

Answer 1

分析：根据平行四边形的性质类比得出平行六面体的性质，即利用平行六面体，得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形，多次使用已知条件中的定理，再将所得等式相加，可以计算出正确结论．

解答：解：如图，平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形，
因此，在平行四边形ABCD中，AC²+BD²=2（AB²+AD²）…①；
在平行四边形ACA₁C₁中，A₁C²+AC₁²=2（AC²+AA₁²）…②；
在平行四边形BDB₁D₁中，B₁D²+BD₁²=2（BD²+BB₁²）…③；
②、③相加，得A₁C²+AC₁²+B₁D²+BD₁²=2（AC²+AA₁²）+2（BD²+BB₁²）…④
将①代入④，再结合AA₁=BB₁得，AC₁²+B₁D²+A₁C²+BD₁²=4（AB²+AD²+AA₁²）
故答案为：4．

点评：此题主要考查类比推理，考查学生对平行六面体的认识，对平行四边形的性质的理解和掌握，考查学生方程组的处理能力，属于中档题．