题目内容

已知双曲线 $数学公式$ （a＞0，b＞0），若过其右焦点F作倾斜角为45⁰的直线l与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
[2，+∞）
D.
（1，2）

B
分析：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即 $\text{[math]}$ ＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b= $\text{[math]}$ 转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．
解答：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即 $\text{[math]}$ ＜tan45°=1，即b＜a
∵b= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜a，
整理得c＜ $\text{[math]}$ a
∴e= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∵双曲线中e＞1
∴e的范围是（1， $\text{[math]}$ ）
故选B．
点评：本题以双曲线为载体，考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．