Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．
（1）求实数a，b的值；
（2）设h（x）=f（x）-6x（x∈R），求函数h（x）的极大值和极小值；
（3）设f（x）=f（x）+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，点斜式求得切线方程，和已知的切线方程比较系数可得a、b值．
（2）求出 h′（x），利用h′（x）研究h（x）的单调性，由单调性求出h（x）的极值．
（3）化简k（x）=f（x）+

m

x-1

的解析式，由题意得x≥2时，导数k′（x）≥0 恒成立，即x≥2时，m≤（x²-2x+3）（x-1）² 恒成立，故m 小于或等于（x²-2x+3 ）（x-1）² 的最小值3．

解答：解：（1）∵f（0）=b，∴点P （0，b）．∵f′（x）=x²-2x+a，
∴函数f（x）的图象在点P处的切线斜率为 a，故此处的切线方程为  y-b=a （x-0），
即 y=ax+b．又已知此处的切线方程为y=3x-2，∴a=3，b=-2．
（2）∵h（x）=f（x）-6x=

1

3

x³-x²+ax+b-6x=

1

3

x³-x² -3x-2，
∴h′（x）=x²-2x-3，令 h′（x）=0，得 x=-1，或 x=3．
在x=-1的左侧，h′（x）＞0，在x=-1的右侧，h′（x）＜0，故h（x）在x=-1处取极大值为-

1

3

．
在x=3 的左侧，h′（x）＜0，在x=3的右侧，h′（x）＞0，故h（x）在x=-1处取极小值为-11．
（3）∵k（x）=f（x）+

m

x-1

=

1

3

x³-x²+3x-2+

m

x-1

，k′（x）=x2-2x +3 - 

m

(x-1)2

．
由题意得，k′（x）在[2，+∞）上 大于或等于0，即 x≥2时，x2-2x +3 -

m

(x-1)2

≥0 恒成立，
即 m≤（x²-2x+3 ）（x-1）² 恒成立．
∵（x²-2x+3 ）（x-1）² 在[2，+∞）上是单调增函数，故x≥2时（x²-2x+3 ）（x-1）² 的最小值为3，
∴m≤3．

点评：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和极值，求出x≥2时（x²-2x+3 ）（x-1）² 的最小值是
解题的难点．