Question

将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D-ABC的体积是

 

．

Answer 1

分析：如图，由正方形的性质可以求得其对角线长度是

2

a，折起后的图形中，DE=BE=

2

2

a，又知BD=a，由此三角形BDE三边已知，求出∠BED，解出三角形BDE的面积，又可证得三棱锥D-ABC的体积可看作面BDE为底，高分别为AE，AC的两个棱锥的体积和

解答：解：如图，由题意知DE=BE=

2

2

a，BD=a
由勾股定理可证得∠BED=90°
故三角形BDE面积是

1

4

a²
又正方形的对角线互相垂直，且翻折后，AC与DE，BE仍然垂直，故AE，CE分别是以面BDE为底的两个三角形的高
故三棱锥D-ABC的体积为

1

3

×

2

a×

1

4

a²=

2

12

a3
故答案为：

2

12

a3．

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，解题的关键是正确理解图形，将求几何体体积变为求两个几何体的体积，换一个角度求解，使得解题过程变得容易．