题目内容

（2012•浦东新区一模）设函数T(x)=
2x，  0≤x＜
1
2
2(1-x)，  
1
2
≤x≤1

（1）求函数y=T（sin（
π
2
x））和y=sin（
π
2
T（x））的解析式；
（2）是否存在非负实数a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）定义Tn+1（x）=Tn（T（x）），且T1（x）=T（x），（n∈N*）
①当x∈[0，
1
2n
]时，求y=Tn（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当x∈[
i-1
2n
，
i+1
2n
]（i∈N*，1≤i≤2n-1）时，都有Tn（x）=Tn（
i
2n-1
-x）恒成立．
②对于给定的正整数m，若方程Tm（x）=kx恰有2m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{xn}（1≤n≤2m），求数列{xn}所有2m项的和．
分析：（1）由0≤sin
π
2
x＜
1
2
和
1
2
≤sin
π
2
x≤1，解出x的范围，然后直接把sin
π
2
x代入分段函数解析式即可，
求y=sin（
π
2
T（x））的解析式可把T（x）直接代入．
（2）分别写出函数y=aT（x）和y=T（ax）的解析式，由解析式看出当a=0时aT（x）=T（ax）恒成立，
而a＞0时，直接由aT（x）=T（ax）看出a取1时此等式成立；
（3）①当x∈[0，
1
2n
]时，x∈[0，
1
2
），则在函数T（x）=2x的解析式中，依次取x=2x可求y=Tn（x）的解析式；
②根据题目给出的条件：当x∈[
i-1
2n
，
i+1
2n
]（i∈N*，1≤i≤2n-1）时，都有Tn（x）=Tn（
i
2n-1
-x）恒成立，
求出当x∈[
i
2n
，
i+1
2n
]（i∈N，0≤i≤2n-1）时的Tn（x）的解析式，再由方程Tm（x）=kx求得当x∈[
i
2m
，
i+1
2m
](i∈N，0≤i≤2m-1)时，x=
(2i+1)-(-1)i
2m+1-(-1)i2k
，那么，数列{xn}所有2m项的和可利用分组进行求和．
解答：解：（1）由0≤sin
π
2
x＜
1
2
，得：4k≤x＜4k+
1
3
或4k+
5
3
＜x≤4k+2（k∈Z），
由
1
2
≤sin
π
2
x≤1，得：4k+
1
3
≤x≤4k+
5
3
（k∈Z）．
所以，函数y=T[sin(
π
2
x)]=
2sin(
π
2
x)  x∈[4k，4k+
1
3
)∪(4k+
5
3
，4k+2]  k∈Z
2-2sin(
π
2
x)  x∈[4k+
1
3
，4k+
5
3
]  k∈Z
，

函数y=sin(
π
2
T(x))=
sin
π
2
(2x)      x∈[0，
1
2
)
sin
π
2
(2-2x)  x∈[
1
2
，1]
，
所以，y=sin(
π
2
T(x))=sin(πx)  x∈[0，1]．
（2）y=aT(x)=
2ax         0≤x＜
1
2
2a(1-x)  
1
2
≤x≤1
，
y=T(ax)=
2ax         0≤ax＜
1
2
2(1-ax)  
1
2
≤ax≤1
．
当a=0时，则有a（T（x））=T（ax）=0恒成立．
当a＞0时，当且仅当a=1时有a（T（x））=T（ax）=T（x）恒成立．
综上可知当a=0或a=1时，a（T（x））=T（ax）恒成立；
（3）①当x∈[0，
1
2n
]时，对于任意的正整数i∈N*，1≤i≤n-1，
都有0≤2ix≤
1
2
，
故有y=Tn(x)=Tn-1(2x)=Tn-2(22x)=…=Tn-i(2ix)=…=T(2n-1x)=2nx．
②由①可知当x∈[0，
1
2n
]时，有Tn(x)=2nx，根据命题的结论可得，
当x∈[
1
2n
，
2
2n
]⊆[
0
2n
，
2
2n
]时，有
1
2n-1
-x∈[
0
2n
，
1
2n
]⊆[
0
2n
，
2
2n
]，
故有Tn(x)=Tn(
1
2n-1
-x)=2n(
1
2n-1
-x)=-2nx+2．
因此同理归纳得到，当x∈[
i
2n
，
i+1
2n
]（i∈N，0≤i≤2n-1）时，
Tn(x)=(-1)i(2nx-i-
1
2
)+
1
2
=
2nx-i          i是偶数
-2nx+i+1  i是奇数
．
对于给定的正整数m，当x∈[
i
2m
，
i+1
2m
](i∈N，0≤i≤2m-1)时，
解方程Tm（x）=kx得，x=
(2i+1)-(-1)i
2m+1-(-1)i2k
，
要使方程Tm（x）=kx在x∈[0，1]上恰有2m个不同的实数根，
对于任意i∈N，0≤i≤2m-1，必须
i
2m
＜
(2i+1)-(-1)i
2m+1-(-1)i2k
＜
i+1
2m
恒成立，
解得k∈(0，
2m
2m-1
)，若将这些根从小到大排列组成数列{xn}，
由此可得xn=
(2n-1)+(-1)n
2m+1+(-1)n2k
  （n∈N*，1≤i≤2m）．
故数列{xn}所有2m项的和为：
S=x1+x2+…+x2m-1+x2m
=
0+2+4+…+(2m-2)
2m-k
+
2+4+6+…+2m
2m+k

=
2m-1(4m-2k)
4m-k2
．
点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数恒成立问题，考查了数列的函数特性及数列的分组求和，特别是（3）中的②涉及到复杂条件下的函数解析式的求解及方程根的问题，需要学生有清晰的头脑，考查了学生进行复杂运算的能力，此题是难度较大的题目．
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+
1
2
i
1
2
+
1
2
i
．

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