Question

某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为（　　）

• A．4小时
• B．4

  7

  8

• C．4

  15

  16

• D．5小时

Answer 1

分析：根据图象先求出函数的解析式，然后我们将函数值0.25代入函数解析式，构造不等式f（t）≥0.25，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间．

解答：解：由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，
由于过原点与点（1，4），故其解析式为y=4t，0≤t≤1；
当t≥1时，函数的解析式为y=(

1

2

)t-a，
此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=(

1

2

)1-a，解得a=3
故函数的解析式为y=(

1

2

)t-3，t≥1．
所以y=f(t)=

4t (0≤t＜1) ( 1 2 )t-3 (t≥1)

．
令f（t）≥0.25，即

4t≥0.25 ( 1 2 )t-3≥0.25

，
解得

t≥ 1 16 t≤5

，
∴

1

16

≤t≤5．
∴服药一次治疗疾病有效的时间为5-

1

16

=4

15

16

个小时．
故选C．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．