Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式：3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}是公比为f（t），作数列{b_n}，使b1=1，bn=f(

1

bn-1

)（n=2，3，4，…），求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1；
（3）若t=-3，设c_n=log₃a₂+log₃a₃+log₃a₄+…+log₃a_n+1，T_n=

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

，求使k

n•2n+1

(n+1)

≥（7-2n）T_n（n∈N⁺）恒成立的实数k的范围．

Answer 1

分析：（1）由

3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(n≥2) 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t(n≥3)

可求得

an

an-1

=

2t+3

3t

（n=3，4，…），又a₁=1，a₂=

2t+3

3t

，可证数列{a_n}是首项为1，公比为

2t+3

3t

的等比数列；
（2）依题意可求得f（t）=

2

3

+

1

t

，b_n=f（

1

bn-1

）=

2n+1

3

，可知数列{b_2n-1}与{b_2n}是首项分别为1和

5

3

，公差均为

4

3

的等差数列，且b_2n=

4n+1

3

，从而可求得b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1；
（3）可求得c_n=-

n(n+1)

2

，

1

cn

=-

2n

n+1

，数列{

1

cn

}的前n项和为-

2n

n+1

，对k

n•2n+1

(n+1)

≥（7-2n）T_n（n∈N⁺）化简得k≥

2n-7

2n

对任意n∈N^*恒成立，再构造函数d_n=

2n-7

2n

，对n分类讨论，研究函数，{d_n}与{c_n}的单调性即可求得k的取值范围．

解答：解：（1）由S₁=a₁=1，S₂=a₁+a₂=1+a₂，得3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，则a₂=

2t+3

3t

，于是

a2

a1

=

2t+3

3t

，
又

3tSn-(2t+3)Sn-1=3t 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t

两式相减得3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
于是

an

an-1

=

2t+3

3t

（n=3，4，…）
因此，数列{a_n}是首项为1，公比为

2t+3

3t

的等比数列．
（2）按题意，f（t）=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，
故b_n=f（

1

bn-1

）=

2

3

+b_n-1⇒b_n=1+

2

3

（n-1）=

2n+1

3

，
由b_n=

2n+1

3

，可知数列{b_2n-1}与{b_2n}是首项分别为1和

5

3

，公差均为

4

3

的等差数列，且b_2n=

4n+1

3

，
于是b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-

4

3

（b₂+b₄+…+b_2n）
=-

4

9

（2n²+3n）
（3）c_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-（1+2+3+…+n）
=-

n(n+1)

2

．
故

1

cn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

）．
T_n=

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=-

2n

n+1

．
所以数列{

1

cn

}的前n项和为-

2n

n+1

．化简得k≥

2n-7

2n

对任意n∈N^*恒成立．
设d_n=

2n-7

2n

，则d_n+1-d_n=

2(n+1)-7

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-2n

2n

．
当n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}为单调递减数列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}为单调递增数列．
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列．

1

16

=d₄＜d₅=

3

32

，所以，n=5时，d_n取得最大值为

2

32

．
所以，要使k≥

2n-7

2n

对任意n∈N^*恒成立，k≥

3

32

．

点评：本题考查等比关系的确定，考查数列与不等式的综合，突出考查等差数列的求和与等比数列的证明，考查化归思想与分类讨论思想，属于难题．