Question

2．如图，在△ABC中，∠B=$\frac{π}{2}$，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（1）当棱锥A′PBCD的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：DE⊥平面A′BC．

Answer 1

分析 （1）令PA=x（0＜x＜2）求出体积表达式，利用导数确定函数的单调性，求出函数的最大值．
（2）设F为A′B的中点，连接PF，FE，通过PDEF是平行四边形，证明A′B⊥DE，又DE⊥A′C，即可得证．

解答 解：（1）令PA=x（0＜x＜2），则A′P=PD=x．BP=2-x，
因为A′P⊥PD，且平面A′PD⊥平面PBCD，
故A′P⊥平面PBCD，
所以V_A′-PBCD=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{6}$（2-x）（2+x）x=$\frac{1}{6}$（4x-x³），
令f（x）=$\frac{1}{6}$（4x-x³），由f′（x）=$\frac{1}{6}$（4-3x²）=0得x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当x∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以，当x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，f（x）取得最大值，
即：体积最大时，PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）设F为A′B的中点，连接PF，FE，则有EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，PD∥BC，PD=$\frac{1}{2}$BC，
所以DE∥PF，又A′P=PB，所以PF⊥A′B．
故DE⊥A′B，
又因为点P为AB的中点，PD∥BC，可得D为AD中点，A′D=DC，又E为A′C的中点，可得：A′E=EC，
所以：DE⊥A′C，
由于A′B∩A′C=A′，可得DE⊥平面A′BC．

点评 本题主要考查了几何体的体积计算，函数最大值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．