Question

设函数f(x)=

(a-2)x(x≥2) ( 1 π ∫-11 1-x2 dx)x-1(x＜2)

，an=f(n)，若数列{a_n}是单调递减数列，则实数a的取值范围为

(-∞，

7

4

)

．

Answer 1

分析：先进行定积分运算求出f（x），进而得到a_n=f（n），根据数列{a_n}是单调递减数列，可得

a-2＜0 ( 1 2 )1-1＞(a-2)•2

，解出即得a的范围．

解答：解：因为

∫

1 -1

1-x2

dx表示单位圆位于x轴上方的半圆面积，所以

∫

1 -1

1-x2

dx=

1

2

π，
则(

1

π

∫

1 -1

1-x2

dx)x=（

1

2

）^x，
所以f（x）=

(a-2)x，x≥2 ( 1 2 )x-1，x＜2

，
所以a_n=f（n）=

(a-2)n，n≥2 ( 1 2 )n-1，n＜2

，
因为数列{a_n}是单调递减数列，所以a₁＞a₂＞…＞a_n＞a_n+1＞…，
所以有

a-2＜0 ( 1 2 )1-1＞(a-2)•2

，解得a＜

7

4

，
故实数a的取值范围为（-∞，

7

4

）．
故答案为：（-∞，

7

4

）．

点评：本题考查函数的单调性、定积分及递减数列，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．