题目内容
已知二次函数
和“伪二次函数”
（
、
、
），
（I）证明：只要
，无论取何值，函数
在定义域内不可能总为增函数；
（II）在二次函数图象上任意取不同两点
，线段
中点的横坐标为
，记直线的斜率为
，
（i）求证：
；
（ii）对于“伪二次函数”
，是否有（i）同样的性质?证明你的结论.
【答案】
解：（I）如果
为增函数,
则
(1)恒成立, --------1分
当
时恒成立, 
(2)
由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.
则函数
不可能总为增函数. --------4分
（II）（i）
=
.
--------6分
由
,……..7分 则
--------7分
,对于“伪二次函数”:法一:
.
(3) --------9分
又
,
法二:
=
,
(3)
--------9分
由(ⅰ)中(1)
,
如果有(ⅰ)的性质，则
, (4)
比较(3)( 4)两式得
，
即：
，(4) --------12分
不妨令
， (5)
设
，则
，
∴
在
上递增， ∴
.
∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,
. --------13分
∴“伪二次函数”
不具有(ⅰ)的性质. --------14分
【解析】略
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和“伪二次函数” 
.
，无论
取何值，函数
在定义域内不可能总为增函数；
），B（
），线段AB中点为C（
），记直线AB的斜率为k.
；
，是否有（1）同样的性质？证明你的结论。
和“伪二次函数”
（
、
、
），
，无论
在定义域内不可能总为增函数；
，线段
中点的横坐标为
，记直线
， 
；
，是否有（i）同样的性质?证明你的结论. 
和“伪二次函数”
（
、
、
），
，无论
在定义域内不可能总为增函数；
，线段
中点的横坐标为
，记直线
， 
；
，是否有（i）同样的性质?证明你的结论. 
和“伪二次函数”
（
、
、
），
，无论
在定义域内不可能总为增函数；
，线段
中点的横坐标为
，记直线
， 
；
，是否有（i）同样的性质?证明你的结论.